Zastosowania całek oznaczonych w fizyce
Podamy teraz niektóre z zastosowań całek oznaczonych w fizyce. Załóżmy, że pewien punkt \( A \) porusza się w momencie \( t_0 \)
z prędkością chwilową opisaną równaniem \( v_0=v(t_0) \). Zmienną prędkość punktu \( A \) w całym czasie poruszania się tego punktu określa więc pewna funkcja \( v(t) \).
Twierdzenie 1: o drodze przebytej przez punkt materialny w przedziale czasu
Drogę \( s \) przebytą przez punkt \( A \) w pewnym przedziale czasowym \( t\in[t_1, t_2] \) ze zmienną prędkością \( v(t) \) wyrażamy za pomocą wzoru
Przykład 1:
Pociąg zaczyna nagle hamować w chwili \( t_0=0 \) i jego prędkość w chwili \( t \) wynosi \( v(t)=\big(20 - 5t^{\frac{2}{3}}\big) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \) dopóki się nie zatrzyma. Obliczyć drogę hamowania.
Najpierw wyznaczmy czas, po którym pociąg się zatrzymał, czyli osiągnął prędkość \( v(t) = 0 \)
Rozwiązując ostatnie równanie otrzymujemy
więc pociąg zatrzyma się po \( 8 \) sekundach. Teraz wystarczy zastosować wzór na długość drogi poruszającego się obiektu:
Zatem droga hamowania to 64 m.
Twierdzenie 2: o pracy wykonanej przy przesuwaniu punktu materialnego wzdłuż prostej
Pracę \( W \) wykonaną przy przesuwaniu pewnego obiektu ze zmienną siłą \( F(x) \) po prostej \( OX \), pokrywającej się z kierunkiem siły, od punktu \( x=a \) do punktu \( x=b \) wyrażamy wzorem
Podamy teraz wzory na obliczanie momentów statycznych i momentów bezwładności oraz środka ciężkości trapezu krzywoliniowego \( T \):
Załóżmy, że trapez \( T \) jest figurą jednorodną (masa jest rozłożona na nim równomiernie), której gęstość powierzchniowa \( \rho \) (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała.
Twierdzenie 3: o momentach statycznych i momentach bezwładności trapezu krzywoliniowego
Moment statyczny \( M_x \) i moment bezwładności \( I_x \) trapezu \( T \) względem osi \( OX \) wyrażaja się za pomocą wzorów
Moment statyczny \( M_y \) i moment bezwładności \( I_y \) trapezu \( T \) względem osi \( OY \) wyrażają się za pomocą wzrorów
Twierdzenie 4: o środku ciężkości trapezu krzywoliniowego
Środek ciężkości \( C = (x_C, y_C) \) trapezu \( T \), którego pole wynosi \( S=\int\limits_a^b\,f(x) \, dx \) jest punktem o współrzędnych zadanych wzorami
Wniosek 1: o środku ciężkości figury płaskiej
o polu równym \( S \) ma współrzędne
Przykład 2:
Znajdźmy momenty bezwładności (względem obu osi układu współrzędnych) oraz środek ciężkości jednorodnego trójkąta
o gęstości \( \rho = 1, \) którego wierzchołki mają współrzędne \( A=(0,0), B=(2, 0), C=(0, 4) \).
Dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych zawartych w osiach układu i przeciwprostokątnej zawartej
w prostej \( y=-2x+4 \). Możemy go zatem zapisać w następujący sposób:
Policzmy więc momenty bezwładności zbioru \( T \), korzystając z odpowiednich wzorów:
Dla obliczenia współrzędnych środka ciężkości potrzebujemy znaleźć momenty statyczne względem obu osi oraz pole powierzchni trójkąta \( T \). Pamiętamy, że pole powierzchni trójkąta \( T \) możemy wyznaczyć za pomocą całki:
natomiast momenty statyczne wyznaczamy ze wzorów
Środek ciężkości jest więc punktem o współrzędnych